Sistemlerin klasik ve kuantum tanımlamaları
arasındaki bu fark, tüm kuantum statistiklerinin temelini oluştursa da, kuantum
partikülleri, sistemin simetrisine göre iki ayrı sınıfa bölünmüştür.
Spin-istatistik teoremi iki özel tür simetriyi iki tür spin simetrisiyle, yani
bozonlar ve fermiyonlarla birleştirir (Şekil).
1.Enerji Dağılımı
Bir miktar özdeş partikül arasında sabit miktarda bir enerjinin dağılımı, mevcut enerji durumlarının yoğunluğuna ve belirli bir durumun işgal edilme olasılığına bağlıdır. Belirli bir enerji durumunun işgal edilme olasılığı, dağıtım fonksiyonu tarafından verilir, ancak belirli bir enerji aralığında daha fazla enerji durumu varsa, bu enerji aralığı olasılığına daha büyük bir ağırlık verilir.
n(E) DE = g(E) f(E) DE
n(E) = E ve E + DE arasındaki
enerjide, birim hacimdeki partikül sayısı
DE = enerji aralığı
g(E) = durum yoğunluğu; veya, DE aralığında birim hacimdeki enerji durumu
f(E) = dağılım (distribüsyon) fonksiyonu; veya, bir
partikülün E enerji durumunda bulunma olasılığı
Enerji
Dağılım Fonksiyonu: Dağılım
fonksiyonu f(E), bir partikülün enerji durumu E'de olma olasılığıdır. Dağılım
fonksiyonu, enerjinin sürekli bir değişken olarak ele alınabileceği durumdaki
ayrık olasılık düşüncelerinin genelleştirilmesidir. Doğada üç farklı şekilde
farklı dağılım fonksiyonları bulunur. Her bir dağılımın paydası A ifadesi,
sıcaklıkla değişebilen bir normalizasyon terimidir.
Maxwell-Bolzmann (klasik)
|
Bose-Einstein
(kuantum) |
Fermi-Dirac
(kuantum) |
1
f (E) = ¾¾¾
A eE/kT
|
1
f (E) = ¾¾¾¾¾
A eE/kT -1
|
1
f (E) = ¾¾¾¾¾
A eE/kT + 1
|
-
|
Bozonlar
|
Fermiyonlar
|
Örnek: Moleküler hız dağılımı
|
Örnek: termal radyasyon, spesifik ısı
|
Örnekler: Bir metalde elektronlar, yarıiletkende
iletim
|
Durum
Yoğunluğu: Aynı partiküller arasında enerji dağılımı, kısmen belirli bir enerji aralığında
ne kadar uygun durum olduğuna bağlıdır. Bu durum yoğunluğu, enerjinin fonksiyonu
olarak, birim hacim başına bir enerji aralığında durum sayısını verir.
"İstatistiksel ağırlık" terimi bazen, özellikle mevcut durumların
ayrı olduğu durumlarda eşanlamlı olarak kullanılmaktadır. Partiküllerdeki fiziksel
kısıtlamalar, durum yoğunluğunun formunu belirler.
Bir metaldeki elektronlar için, durum yoğunlukları
"bir kutudaki partikül" tipi elektronun dalga yapısından gelir.
4 p
(2m)3/2
r(E)
= ¾¾¾¾¾ (E)1/2
h3
Enerji ve dalga boyu arasındaki ilişkinin olduğu
fotonlar için:
hc
E = pc = ¾¾
l
Durum yoğunluğu:
8 p
r(E)
= ¾¾ (E)2
(hc)3
2. Maxwell Bolzmann Dağılımı
Maxwell-Boltzmann dağılımı, özdeş fakat ayırt
edilebilir partiküller arasındaki enerji miktarının dağılımı için klasik
dağılım fonksiyonudur.
1
f (E) = ¾¾¾
A eE/kT
f(E) = bir partikülün E enerji durumunda bulunma
olasılığı, A = normalizasyon sabiti, k = Boltzman sabiti, T = mutlak sıcaklık
Ayrılabilirlik varsayımının yanı sıra, klasik statistik
fizik aşağıdaki posülatları ileri sürer:
·
Belirli bir durumu işgal edebilecek partikül sayısı
üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur
·
Termal dengede, mevcut enerji durumları arasında
partiküllerin dağılımı, mevcut toplam enerji ve toplam partikül sayısı ile
tutarlı olarak en olası dağılımı alacaktır
·
Sistemin her özel durumu eşit olasılıktadır
Bu postülalarda yer alan genel fikirlerden biri,
herhangi bir partikülün, ortalamanın üzerinde (yani, payından çok daha fazla)
bir enerji elde etmesinin olanaksızlığıdır. Ortalamadan daha düşük enerjiler
tercih edilir çünkü bunları elde etmenin daha fazla yolu vardır. Bir partikül,
örneğin, ortalamanın 10 katı enerji alırsa, enerjinin kalan kısmının dağılımı
için olasılık sayısını azaltır.
