Partikül, Üç-Boyutlu Kutuda (particle in three-dimensional box)

Bir partikülün üç-boyutlu bir kutuda bulunması durumunda, bir- ve iki- boyutlu kutularda belirtilen genel stratejiler uygulanarak aşağıda verilen dalgafonksiyonları (Y_nx,ny,nz) ve enerji (E_{nx, ny, nz}) eşitlikleri elde edilir. (a = kutunun üç kenarının da uzunluğudur.)

Tablo üç-boyutlu kutudaki bir partikülün ilk 10 enerjisini, Şekil-(a) ilk sekiz enerji seviyesinin tasvirini göstermektedir.

Enerjideki birim değişiklik Dn ile gösterildiğinde enerji yoğunluğu eşitliğinin çıkarılmasında, önceki kısımlarda tanımlanan yollar izlenir (Şekil-b.).

E ∝ n_x² + n_y² + n_z²

n = (n_x² + n_y² + n_z²)^1/2

n = kürenin çapı, Dn = çaptaki değişiklik, n + Dn = küreün bir sonraki çapı olduğuna göre izlenen yaklaştırma Dn → dn ile gösteriliyor.

Kabuğun hacmi 4p n² dn, enerjideki dn değişiliğnde buluna toplam hal sayısını belirtir.

n_x > 0, n_y > 0, n_z > 0

olduğundan, pozitif çeyrek küre bölümü dikkate alınır. Buna göre hacim,

1/8 (4p n² dn)

Şekil: Üç boyutlu kutudaki bir partikülün, (a) ilk sekiz enerji seviyesinin tasviri. (sayılar n_x , n_y ve  n_nz indisleri gösterir), (b): n_x, n_y, n_z ve yarıçap n =(n_x² + n_y² + n_z²)^1/2 ile tanımlanan sabit-enerji küresel (spherik) yüzeyleri

Enerji yoğunluğu g_{3D kutu}(E) (sayı/enerji) eşitliği bulunur:

Durum yoğunluğu, g_{3D kutu}(E) değerinin kutunun hacmine bölünmesiyle bulunur. (birimi sayı/enerji/hacim) 



ρ_{energi, 3D kutu}, √E değerine bağlıdır. Yüksek enerjilerde sistemde çok sayıda uygun hal vardır. Bu durum Tablo ve Şekilde açıkca görülmektedir.

GERİ